不可积函数

超越积分(通常也称为非初等函数积分),积分的原函数为非初等函数的积分,一般不会使用超越积分的说法,正规说法是非初等函数积分。

对于一些积分,它的原函数是非初等函数,而且这种情况还会经常遇到。因此对于一些常见的非初等函数积分,一般都定义了相关的新非初等函数。

下面就介绍几个常见的非初等函数积分:

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

以后凡是看到以上形式的积分,不需要继续尝试使用换元积分法或分部积分法等基本的积分技巧并且使用牛顿-莱布尼茨公式,因为以上积分都已经被证明了为非初等函数积分。

比如  ,此处的积分值的一种求法就是用二重积分和极限夹逼的方法得出的,而且只能算出 或是  上的值,其他积分上下限的积分值一般用数值方法算出近似值。

扩展资料:

可积函数是存在积分的函数。除非特别指明,一般积分是指勒贝格积分;否则,称函数为"黎曼可积"(也即黎曼积分存在),或者"Henstock-Kurzweil可积",等等。

黎曼积分在应用领域取得了巨大的成功,但是黎曼积分的应用范围因为其定义的局限而受到限制;勒贝格积分是在勒贝格测度理论的基础上建立起来的,函数可以定义在更一般的点集上,更重要的是它提供了比黎曼积分更广泛有效的收敛定理,因此,勒贝格积分的应用领域更加广泛。

函数乘积的可积性:

设函数  在区间 上可积,那么乘积  也可积。

函数绝对值的可积性:

如果函数  在区间  上可积,那么它的绝对值函数  也可积,并且满足:

参考资料:百度百科---超越积分

超越积分
超越积分(通常也称为不可积),也就是说这个积分的原函数不能用我们所学的任何一种函数来表示.但如果引入新的函数erf(x)=∫[0,x]e^(-t^2)dt,那么该函数的积分就可表示为erf(x)+c.
道理很简单,比如∫x^ndx,一般的该积分为1/(n+1)x^(n+1),如果不引入lnx,那么∫1/xdx就不可积了.因此对于一些积分,如果不引入新的函数,那么那些积分就有可能不可积,而且这种情况还会经常遇到.因此对于一些常见的超越积分,一般都定义了相关的新函数.
下面就介绍几个常见的超越积分(不可积积分)
1.∫e^(ax^2)dx(a≠0)
2.∫(sinx)/xdx
3.∫(cosx)/xdx
4.∫sin(x^2)dx
5.∫cos(x^2)dx
6.∫x^n/lnxdx(n≠-1)
7.∫lnx/(x+a)dx(a≠0)
8.∫(sinx)^zdx(z不是整数)
9.∫dx/√(x^4+a)(a≠0)
10.∫√(1+k(sinx)^2)dx(k≠0,k≠-1)
11.∫dx/√(1+k(sinx)^2)(k≠0,k≠-1)
以后凡是看到以上形式的积分,我劝你不要继续尝试,因为以上积分都已经被证明了为不可积积分.但是要注意的是,虽然以上积分的原函数不是初等函数,但并不意味着他们的定积分不可求,对于某些特殊点位置的定积分还是有可能算出来的,只不过不能用牛顿-莱布尼茨公式罢了!
比如∫[0,+∞)e^(-x^2)dx=√π/2,此处的积分值就是用二重积分和极限夹逼的方法得出的,而且只能算出(-∞,+∞)或是(0,+∞)上的值,其他的值只能用数值方法算出近似值.
再如∫[0,+∞)(sinx)/xdx=π/2,此处就是用留数理论得出的可积函数是存在积分的函数,但也会存在一些不可积的函数例子,比如一些我们熟悉的一些三角函数,Sin(x^2)函数,又或者f(x)为定义在[0,1]上的函数,并且f(x)=1时的函数,以及狄利克雷函数D(x),D(x)=1, if x是有理数;D(x)=0, if x是无理数。这些函数有个特点,就是有界但没办法积分的函数。
平时学习多做总结最好,简单的说明希望对你有所帮助。你说的那些函数不是不可积,而是原函数不是初等函数F(x)={1(x为有理数),-1(x为无理数)
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